Numerische Methoden der Signal- und Bildverarbeitung III:

Computertomographie

Wintersemester 2011/12
Diese Vorlesung kann im Hauptstudium (Diplom), Bachelor Mathematik und im Master Mathematik als Inverse Probleme III oder Spezialisierung im Zyklus 'Approximationsverfahren' oder Spezialisierung in Informationstheorie und Signalübertragung verwendet werden!

Vorlesung
Dienstags, 8.15 Uhr - 9.45 Uhr NAM Seminarraum
Freitags, 8.15 Uhr - 9.45 Uhr NAM Seminarraum
Vorlesungsbeginn: 25.10.2011

Übungen
Zeit und Ort werden in der ersten Vorlesungswoche festgelegt.

Voraussetzungen für einen erfolgreichen Abschluss der Veranstaltung
Bachelor/Master: Für diese Veranstaltung können 9 ECTS-Punkte erworben werden.
Voraussetzung ist das Erreichen von 50 Prozent der Punkte bei den Übungsaufgaben, und aktive Teilnahme an den Übungen, sowie eine 20-minütige mündliche Prüfung nach Beendigung der Veranstaltung.

Vorkenntnisse:
Bei Besuch der Vorlesung sind Grundlagen zur Fourier-Analysis, zur Funktionalanalysis, und zu inversen Problemen von Vorteil aber nicht zwingend notwendig.

Inhalt:
Gegenstand dieser Vorlesung ist die Röntgentomographie. Die Vorlesung behandelt sowohl die mathematischen Grundlagen als auch numerische Lösungsverfahren.

1. Einführung: Anwendungsbeispiele

Mathematische Grundlagen:
2. Wiederholung: Fourier-Transformation
3. Die Radonsche Umkehrformel (inverse Radon-Transformation)
4. Die Cormacksche Umkehrformel
5. Eindeutigkeit der inversen Radon-Transformation
6. Singulärwertzerlegung für die Radon-Transformation

Numerische Verfahren:
7. Wiederholung: Der Abtastsatz von Shannon
8. Die gefilterte Rückprojektion
9. Die Fourier-Rekonstruktion
10. Das Kaczmarz-Verfahren
11. Anwendung des Kaczmarz-Verfahrens zur inversen Radon-Transfomation
12. Direkte algebraische Verfahren
13. Das inverse Radon-Problem bei unvollständigen Daten

Literatur:

R. Kress: Computertomographie, Vorlesungsskript 2005, Universität Göttingen.
F. Natterer: The Mathematics of Computerized Tomography, Teubner, Stuttgart, 1986.
F. Natterer und F. Wübbeling: Mathematical Methods in Image Reconstruction, SIAM, Philadelphia, 2001.

Programmierung
Zur Programmierung verwenden wir hauptsächlich MATLAB.